Le principe de l'intégration par parties Soient u et v deux fonctions dérivables sur l'interv Objectifs : - Connaître le principe de l'intégration par parties - Comprendre un exemple de calcul utilisant deux intégrations par parties 1. Plus de 6000 vidéos et des dizaines de milliers d'exercices interactifs sont disponibles du niveau primaire au niveau universitaire. R 1 xlnx dx 3. Voyons dans ce premier exemple comment trouver la primitive de Appliquons la formule de l'intégration par parties qui est :Afin de dériver le polynôme en x et d'intégrer la fonction trigonométrique le choix de Rappel de la formule de l'intégration par parties :En appliquant la formule de l'intégration par parties on en déduit que : Dans ce résultat il nous faut calculer la primitive de Voyons dans cet exemple comment trouver la primitive de Rappel de la formule de l'intégration par parties :En appliquant la formule de l'intégration par parties on obtient : Rappel de la formule de l'intégration par parties :En appliquant la formule de l'intégration par parties on obtient : En considérant que l'on ne connaît pas la primitive de Rappel de la formule de l'intégration par parties :En appliquant la formule de l'intégration par parties on obtient : En considérant que l'on ne connaît pas la primitive de Rappel de la formule de l'intégration par parties :En appliquant la formule de l'intégration par parties on obtient : Et comme nous ne connaissons pas encore la primitive de Rappel de la formule de l'intégration par parties :En appliquant la formule de l'intégration par parties on obtient : Voyons dans cet exemple comment trouver la primitive deRappel de la formule de l'intégration par parties :En appliquant la formule de l'intégration par parties on obtient : Rappel de la formule de l'intégration par parties :En appliquant la formule de l'intégration par parties on obtient : Maintenant que vous avez compris et que vous connaissez les primitives de Et de manière générale les valeurs absolues des coefficients En utilisant la fonction factorielle l'expression de tous les coefficients s'écrit (y compris celui du monôme de plus haut degré) :Mais de cette manière, pour calculer la primitive de La recherche de la primitive peut alors se faire par simple identification des coefficients entre deux polynômes de degré Illustrons cette technique en calculant la primitive Identifions les coefficients des deux polynômes de degré 3 :La question qui se pose alors est de savoir s'il faut intégrer Rappel de la formule de l'intégration par parties :En appliquant la formule de l'intégration par parties on obtient une expression de En appliquant la formule de l'intégration par parties on obtient cette fois une expression de Les deux intégrations par parties nous donnent donc un petit système à deux équations, et deux inconnues En résolvant par substitution ce système simple on trouve pour Rappel de la forme exponentielle du nombre complexe de module 1 et d'argument x (formule d'Euler) : Sachant que la partie réelle d'une intégrale est égale à l'intégrale de la partie réelle, et que la partie imaginaire d'une intégrale est égale à l'intégrale de la partie imaginaire on peut écrire :Les primitives recherchées sont donc simplement les parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe :Il faut maintenant décomposer en partie réelle et partie imaginaire le nombre complexe suivant, ce qui revient à passer de sa forme exponentielle à sa forme algébrique : La décomposition en partie réelle et partie imaginaire se fait comme ceci : En ajoutant un coefficient à x on peut déduire des résultats précédents les relations suivantes (avec Et de manière générale on retiendra de cet exemple 11 que (avec Dans ce dernier exemple on va "essayer" (sans garantie d'efficacité en un premier temps) de trouver la primitive Rappel de la formule de l'intégration par parties :En appliquant la formule de l'intégration par parties on obtient une expression de En appliquant la formule de l'intégration par parties on est content puisqu'on obtient cette fois une expression de On pense alors qu'on est sur le bonne voie puisqu'on a trouvé Les deux intégrations par parties nous donnent donc un petit système à deux équations, et deux inconnues Et là surprise, en résolvant par substitution ce système simple on trouve pour En fait les deux intégrations par parties nous ont donné exactement le même renseignement : En réalité cet exemple montre que l'intégration par parties ne permet pas d'obtenir directement la primitive de Si malgré tout on veut vraiment calculer la primitive de On en déduit alors les formules de transformation qui vont débloquer la situation : Quand et comment utiliser ces formules de transformation afin que l'intégration par parties de Voyons maintenant dans le détail comment retrouver la primitive de Rappel de la formule de l'intégration par parties :En appliquant la formule de l'intégration par parties on obtient une expression de En utilisant la formule de transformation suivante : Nous venons de démontrer le calcul de la primitive de Rappel de la formule de l'intégration par parties :En appliquant la formule de l'intégration par parties on obtient une expression de En utilisant la formule de transformation suivante : Rappel de la formule de l'intégration par parties :En appliquant la formule de l'intégration par parties on obtient pour Nous venons de démontrer le calcul de la primitive de Comparaison des deux solutions nous ayant permis d'obtenir la primitive de En calculant la primitive de la forme linéarisée de La procédure reste similaire pour calculer les primitives de l'intégration par parties à 2 niveaux ne nous dispense donc pas de connaître les relations trigonométriques, ce qui confirme que la
Cours et exercices de mathématiques pour les étudiants. Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines Notre mission : apporter un enseignement gratuit et de qualité à tout le monde, partout. Exercices - Calcul d’intégrales: corrigé Intégration par parties - Changements de variable Exercice 1 - Changements de variables - Niveau 1-L1/Math Sup-? Calcul d'intégrale difficile. Le calcul de dérivées doit être parfaitement connu avant de vouloir effectuer une recherche de primitives par intégration par parties. et . alors : ou . If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.